SOAL INTEGRAL NO SPAM

Integral fungsi rasional
∫ (5x + 3) dx / (x³ - 2x² - 3x)
= ∫ (5x + 3) dx / [x (x² - 2x - 3)] = ∫ (5x + 3) dx / [x (x - 3)(x + 1)]

Jadikan ke dalam bentuk pecahan parsial! 
(5x + 3) / [x (x - 3)(x + 1)] = A / (x - 3) + B / (x + 1) + C / x
Kalikan persamaan dengan penyebut!
x(5x + 3)(x - 3)(x + 1) = A x(x - 3)(x + 1) / (x - 3) + B x(x - 3)(x + 1) / (x + 1) + C x(x - 3)(x + 1) / x
5x + 3 = A x(x + 1) + B x(x - 3) + C (x - 3)(x + 1)

Akar-akar real dari penyebut adalah 3, 0, dan -1.
Untuk akar real 3 dari penyebut:
5(3) + 3 = A (3)(3 + 1) + B (3)(3 - 3) + C (3 - 3)(x + 1)
18 = 12A
A = 3/2

Untuk akar real 0 dari penyebut:
5(0) + 3 = 3/2 (0)(0 + 1) + B (0)(0 - 3) + C (0 - 3)(0 + 1)
3 = -3C
C = -1

Untuk akar real -1 dari penyebut:
5(-1) + 3 = 3/2 (-1)(-1 + 1) + (-1)(-1) (-1 - 3) + C (-1 - 3)(-1 + 1)
-2 = 4B
B = -1/2

(5x + 3) / [x (x - 3)(x + 1)] = 3/2 / (x - 3) + (-1/2) / (x + 1) + (-1) / x
(5x + 3) / [x (x - 3)(x + 1)] = 3 / [2(x - 3)] - 1 / [2(x + 1)] - 1 / x

∫ {3 / [2(x - 3)] - 1 / [2(x + 1)] - 1 / x} dx
= 3/2 ∫ dx / (x - 3) - 1/2 ∫ dx / (x + 1) - 1/x dx
= 3/2 ㏑ |x - 3| - 1/2 ㏑ |x + 1| - ㏑ x + C
∫ (5x + 3) dx / (x³ - 2x² - 3x) = 1/2 (3 ㏑ |x - 3| - ㏑ |x + 1| - 2 ㏑ x) + C